Question

5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足${S_n}={S_{n-1}}+2{a_{n-1}}+1，（{n≥2，n∈{N^*}}）$，且a₁=3．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：$\frac{1}{{{a_1}+1}}+\frac{1}{{{a_2}+1}}+…+\frac{1}{{{a_n}+1}}＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由数列{a_n}的前n项和与通项公式的定义，得出a_n=2a_n-1+1（n≥2，n∈N^*），从而得出数列{a_n+1}是等比数列，由此求出{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）写出数列{a_n+1}的通项公式，从而得出{$\frac{1}{{a}_{n}+1}$}是等比数列，求出其前n项和，即可证明不等式成立．

解答 解：（Ⅰ）数列{a_n}的前n项和为S_n，且${S_n}={S_{n-1}}+2{a_{n-1}}+1，（{n≥2，n∈{N^*}}）$，
∴S_n-S_n-1=2a_n-1+1，（n≥2，n∈N^*），
即a_n=2a_n-1+1（n≥2，n∈N^*），
∴a_n+1=2（a_n-1+1），
∴数列{a_n+1}是等比数列；…..（3分）
又a₁+1=3+1=4，
∴${a_n}+1=4×{2^{n-1}}$，…（5分）
∴${a_n}={2^{n+1}}-1$；…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，${a_n}+1={2^{n+1}}$，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}+1}$}是首项为$\frac{1}{4}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
因此$\frac{1}{{{a_1}+1}}+\frac{1}{{{a_2}+1}}+…+\frac{1}{{{a_n}+1}}=\frac{{\frac{1}{4}（{1-\frac{1}{2^n}}）}}{{1-\frac{1}{2}}}$…（9分）
=$\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{2^n}}）$…..（11分）
$＜\frac{1}{2}$．…（12分）

点评 本题考查了等比数列的定义与性质的应用问题，也考查了递推数列的应用问题，是综合题．