Question

17．若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ²），P（μ-σ＜ξ＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜ξ＜μ+2σ）=0.9544，设ξ～N（1，σ²），且P（ξ≥3）=0.1587，在平面直角坐标系xOy中，若圆x²+y²=σ²上有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是（-13，13）．

Answer 1

分析 根据正态分布特点计算P（-1＜ξ＜3）=0.6826，从而得出σ=2，根据直线与圆的位置关系得出圆心到直线的距离范围，从而得出c的范围．

解答 解：$P（ξ≥3）=P（ξ≤-1）=\frac{1}{2}[1-P（-1＜ξ＜3）]⇒P（-1＜ξ＜3）=0.6826$，
∴1-σ=-1，1+σ=3，故σ=2，
∴圆的半径为2，
∵圆上有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，
∴圆心（0，0）到直线的距离d满足0≤d＜1．
∵$d=\frac{|c|}{{\sqrt{{{12}^2}+{5^2}}}}=\frac{|c|}{13}$，
∴0≤|c|＜13，即c∈（-13，13）．
故答案为（-13，13）．

点评 本题考查了正态分布的特点，直线与圆的位置关系，属于中档题．