Question

15．已知点P是椭圆$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$在第一象限上的动点，过点P引圆x²+y²=4的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N，则△OMN面积的最小值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），由圆的切线方程可得PA、PB的方程，而PA、PB交于P（x₀，y₀），由此能求出AB的直线方程，从而可得三角形的面积，利用基本不等式可求最值．

解答 解：根据题意，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
PA是圆的切线且切点为A，则PA的方程为x₁x+y₁y=4，
同理PB的方程为x₂x+y₂y=4，
又由PA、PB交与点P，则有x₁x₀+y₁y₀=4，x₂x₀+y₂y₀=4，
则直线AB的方程为x₀x+y₀y=4，
则M的坐标为（$\frac{4}{{x}_{0}}$，0），N的坐标为（0，$\frac{4}{{y}_{0}}$），
S_△OMN=$\frac{1}{2}$|OM||ON|=$\frac{8}{|{x}_{0}{y}_{0}|}$，
又由点P是椭圆$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$在第一象限上的动点，则有$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$=1，
则有1=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$≥2$\sqrt{\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}×\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{8}$|x₀y₀|，即|x₀y₀|≤4$\sqrt{2}$，
S_△OMN=$\frac{1}{2}$|OM||ON||=$\frac{8}{|{x}_{0}{y}_{0}|}$≥$\sqrt{2}$，
即△OMN面积的最小值为$\sqrt{2}$；
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与圆的切线方程，关键是由圆的切线方程分析得到直线AB的方程．