Question

20．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=2，AD=1，$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}$BDcosα+CDsinβ
（Ⅰ）求角β的大小
（Ⅱ）求四边形ABCD周长的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）条件化为$\sqrt{3}$sin（α+β）=$\sqrt{3}$sinβcosα+sinαsinβ，即可求角β的大小
（Ⅱ）求出CB+CD$≤2\sqrt{7}$，即可求四边形ABCD周长的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}$BDcosα+CDsinβ，
∴$\sqrt{3}$sin∠BDC=$\sqrt{3}$sinβcosα+sinαsinβ，
∴$\sqrt{3}$sin（α+β）=$\sqrt{3}$sinβcosα+sinαsinβ，
化简可得tanβ=$\sqrt{3}$，∴β=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由题意，$∠BAD=\frac{2π}{3}$，BD=$\sqrt{4+1-2×2×1×（-\frac{1}{2}）}$=$\sqrt{7}$，
∵BD²=CB²+CD²-2CB•CD•cosβ=（CB+CD）²-3CB•CD≥$\frac{（CB+CD）^{2}}{4}$，
∴CB+CD$≤2\sqrt{7}$，
∵$CB+CD＞\sqrt{7}$，
∴四边形ABCD周长的取值范围（3+$\sqrt{7}$，3+2$\sqrt{7}$）．

点评 本题考查三角函数的化简，考查余弦定理的运用，属于中档题．