Question

从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数

.

x

和样本方差s²（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ²），其中μ近似为样本平均数

.

x

，σ²近似为样本方差s²．
（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．
附：

150

≈12.2．
若Z-N（μ，σ²）则P（μ-σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．

Answer 1

考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,离散型随机变量的期望与方差

专题：计算题,概率与统计

分析：（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；
（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．

解答： 解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数

.

x

和样本方差s²分别为：

.

x

=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，
s²=（-30）²×0.02+（-20）²×0.09+（-10）²×0.22+0×0.33+10²×0.24+20²×0.08+30²×0.02=150．
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200-12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；
（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，
依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．

点评：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．