Question

12．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α为参数），M为C₁上的动点，P点满足$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OM}$，点P的轨迹为曲线C₂．
（Ⅰ）求C₂的普通方程；
（Ⅱ） 设点（x，y）在曲线C₂上，求x+2y的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设点的坐标为p（x，y），根据题意，用x、y表示出点M的坐标，然后根据M是C₁上的动点，代入求出C₂的参数方程即可；
（Ⅱ）令x=3cosθ，y=2sinθ，则x+2y=3cosθ+4sinθ=5（$\frac{3}{5}cosθ+\frac{4}{5}sinθ$）=5sin（θ+φ）即可，

解答 解：（Ⅰ）设P（x，y），则由条件知M（$\frac{x}{2}，\frac{y}{2}$）．由于M点在C₁上，所以$\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}=\frac{3}{2}cosα\\ \frac{y}{2}=sinα\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}x=3cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$，消去参数α得$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$
即C₂的普通方程为$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$
（Ⅱ） 由椭圆的参数方程可得x=3cosθ，y=2sinθ，
则x+2y=3cosθ+4sinθ=5（$\frac{3}{5}cosθ+\frac{4}{5}sinθ$）=5sin（θ+φ），
其中tanφ=$\frac{3}{4}$．∴x+2y的取值范围是[-5，5]．

点评 本题考查轨迹方程的求解，及参数方程的应用，属于基础题．