Question

14．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且2ⁿ⁺¹，S_n，a成等差数列（n∈N^*）．
（1）求a的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=-（a_n+1）a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知条件分别求出等比数列{a_n}的前3项，由此能求出a的值及数列{a_n}的通项公式．
（2）b_n=-（a_n+1）a_n=-（-2n+1）•2ⁿ⁺¹=（2n-1）•2^n-1，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和．

解答 解：（1）∵等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且2ⁿ⁺¹，S_n，a成等差数列（n∈N^*），
∴2S_n=2ⁿ⁺¹+a，
当n=1时，2a₁=4+a，∴a₁=2+$\frac{a}{2}$，
当n=2时，2a₁+2a₂=8+a，∴a₂=2，
当n=3时，2a₁+2a₂+2a₃=16+a，∴a₃=4，
∵{a_n}是等比数列，
∴${a}_{1}{a}_{3}={{a}_{2}}^{2}$，即$（2+\frac{a}{2}）×4={2}^{2}$，
解得a=-2，
∴a₁=2+$\frac{-2}{2}$=1，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2^n-1．
（2）b_n=-（a_n+1）a_n=-（-2n+1）•2ⁿ⁺¹=（2n-1）•2^n-1，
∴数列{b_n}的前n项和：
T_n=1•2⁰+3•2+5•2²+…+（2n-3）•2^n-2+（2n-1）•2^n-1，①
2T_n=1•2+3•2²+5•2³+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，②
①-②，得：-T_n=1+2（2+2²+2³+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ
=1+$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}-（2n-1）•{2}^{n}$
=3•2ⁿ-2n•2ⁿ-3，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ+3．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．