Question

7．棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在线段BD上运动．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB₁P；
（Ⅱ）若BP=1，设异面直线B₁P与AC₁所成的角为θ，求cosθ的值．

Answer 1

分析 （I）利用正方体与正方形的性质可得：BB₁⊥AC，BP⊥AC，再利用线面垂直的判定定理即可证明结论．
（Ⅱ）以A为原点，分别以AB，AD，AA₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，则BB₁⊥AC，…（2分）
正方形ABCD中，BD⊥AC，又P∈BD，则BP⊥AC，…（4分）
且BP∩BB₁=B，∴AC⊥平面BB₁P．…（5分）
（Ⅱ）以A为原点，分别以AB，AD，AA₁所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），C₁（1，1，1），B₁（1，0，1）．  …（6分）
若BP=1，所以$P（{1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0}）$，…（7分）
所以 $\overrightarrow{{B_1}P}=（{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-1}）$，$\overrightarrow{A{C_1}}=（{1，1，1}）$．
则$cosα=|{cos＜\overrightarrow{{B_1}P}，\overrightarrow{AC}＞}|=|{\frac{{\overrightarrow{{B_1}P}•\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{{B_1}P}}|•|{\overrightarrow{AC}}|}}}|=|{\frac{-1}{{\sqrt{2}•\sqrt{3}}}}|=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，
即cosθ的值为$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．…（12分）

点评 本题考查了正方体与正方形的性质、线面垂直的判定定理、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．