Question

4．已知常数 a、b 满足 a＞1＞b＞0，若f（x）=lg（a^x-b^x），x∈（0，+∞）
（1）证明 y=f（x）在（0，+∞）内是增函数；
（2）若 f（x）恰在（1，+∞）内取正值，且 f（2）=lg2，求 a、b 的值．

Answer 1

分析 （1）根据定义法证明函数单调性的步骤：取值、作差、变形、定号、下结论进行证明，利用对数的运算性质、对数函数的性质、题意进行化简、变形；
（2）根据函数的单调性和题意可得f（1）=0，结合f（2）=lg2列出方程，联立后由条件求出a、b的值．

解答 证明：（1）任取0＜x₁＜x₂，
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=lg（{a}^{{x}_{1}}-{b}^{{x}_{1}}）-lg（{a}^{{x}_{2}}-{b}^{{x}_{2}}）$=$lg\frac{{{a^{x_1}}-{b^{x_1}}}}{{{a^{x_2}}-{b^{x_2}}}}$，
∵x₂＞x₁，a＞1＞b＞0，∴${a^{x_2}}-{a^{x_1}}＞0，{b^{x_1}}-{b^{x_2}}＞0$，
∴${a^{x_2}}-{b^{x_2}}-（{a^{x_1}}-{b^{x_1}}）={a^{x_2}}-{a^{x_1}}+{b^{x_1}}-{b^{x_2}}＞0$，
${a}^{{x}_{2}}-{b}^{{x}_{2}}＞{a}^{{x}_{1}}-{b}^{{x}_{1}}$，
∴$0＜\frac{{a}^{{x}_{1}}-{b}^{{x}_{1}}}{{a}^{{x}_{2}}-{b}^{{x}_{2}}}＜1$，则$lg\frac{{a}^{{x}_{1}}-{b}^{{x}_{1}}}{{a}^{{x}_{2}}-{b}^{{x}_{2}}}＜0$，
即f（x₁）＜f（x₂），函数y=f（x）在（0，+∞）内是增函数；
解：（2）由（1）可知：f（x）在（1，+∞）上是增函数，
∵f（x）恰在（1，+∞）取正值，
∴f（1）=lg（a-b）=0，则a-b=1，①
∵f（2）=lg（a²-b²）=lg2，∴a²-b²=2，②
联立①②和a＞1＞b＞0解得，
$a=\frac{3}{2}，b=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了定义法证明函数单调性的步骤：取值、作差、变形、定号、下结论，对数的运算性质、对数函数的性质，以及方程思想，考查化简、变形能力．