Question

15．在△ABC中，（2a-c）cosB=bcosC，sin²A=sin²B+sin²C-λsinBsinC．
（1）求角B的大小；
（2）若$λ=\sqrt{3}$，试判断△ABC的形状；
（3）若△ABC为钝角三角形，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理求得cosB的值，从而求得B．
（2）已知第二个等式利用正弦定理化简得到关系式，利用余弦定理表示出cosA，把得出关系式及λ=$\sqrt{3}$代入求出cosA的值，即可确定出角C；
（3）表示出cosA，由三角形为钝角三角形，分A为钝角与C为钝角两种情况求出λ的范围即可．

解答 解：（1）由题意，∵（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC．
∴2sinA•cosB-sinC•cosB=sinBcosC，
化为：2sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC，
∴2sinA•cosB=sin（B+C），
∵在△ABC中，sin（B+C）=sinA，
∴2sinA•cosB=sinA，得：cosB=$\frac{1}{2}$，
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵$λ=\sqrt{3}$，可得：sin²A=sin²B+sin²C-$\sqrt{3}$sinBsinC，
∴化简已知的等式得：a²=b²-$\sqrt{3}$bc+c²，即b²+c²-a²=$\sqrt{3}$bc，
∴根据余弦定理得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又A为三角形的内角，
则A=$\frac{π}{6}$．可得：C=π-A-B=$\frac{π}{2}$，可得△ABC的形状为直角三角形．
（3）由（2）知，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{λ}{2}$，
如果角A为钝角，即$\frac{π}{2}$＜A＜$\frac{2π}{3}$，则有-$\frac{1}{2}$＜$\frac{λ}{2}$＜0，
解得：-1＜λ＜0；
如果角C为钝角，0＜A＜$\frac{π}{6}$，则有$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$\frac{λ}{2}$＜1，
解得：$\sqrt{3}$＜λ＜2，
综上，λ∈（-1，0）∪（$\sqrt{3}$，2）．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于中档题．