Question

已知函数f（x）=（

1

2

）^|x-1|+a|x+2|．当a=1时，f（x）的单调递减区间为

 

；当a=-1时，f（x）的单调递增区间为

 

．

Answer 1

考点：函数的单调性及单调区间

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当a=1时，f（x）=（

1

2

）^|x-1|+|x+2|，令u（x）=|x-1|+|x+2|=

2x+1，x≥1 3，-2≤x≤1 -2x-1，x＜-2

，利用复合函数的单调性判断即可，
（2）当a=-1时，f（x）=（

1

2

）^|x-1|-|x+2|令u（x）=|x-1|-|x+2|=

-3，x≥1 -2x-1，-2≤x＜2 3，x≤-2

，根据复合函数的单调性可判断即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=（

1

2

）^|x-1|+a|x+2|．
∴当a=1时，f（x）=（

1

2

）^|x-1|+|x+2|，
令u（x）=|x-1|+|x+2|=

2x+1，x≥1 3，-2≤x≤1 -2x-1，x＜-2

，
∴u（x）在[1，+∞）单调递增，
根据复合函数的单调性可判断：f（x）的单调递减区间为[1，+∞），
（2）当a=-1时，f（x）=（

1

2

）^|x-1|-|x+2|
令u（x）=|x-1|-|x+2|=

-3，x≥1 -2x-1，-2≤x＜2 3，x≤-2

，
u（x）在[-2，1]单调递减，
∴根据复合函数的单调性可判断：f（x）的单调递增区间为[-2，1]，
故答案为：[1，+∞），[-2，1]，

点评：本题考查了函数的单调性，复合函数的单调性的判断，属于中档题，关键是去绝对值．