Question

给出下列命题：
①函数f（x）=

sin2x+sinx

sinx+1

是奇函数；
②函数f（x）=1既是奇函数又是偶函数；
③函数y=(

1

3

)x与y=-l0g₃x的图象关于直线y=x对称；
④若y=f（x）是定义在R上的函数，则y=f（1+x）与y=f（1-x）的图象关于y轴对称．
其中正确命题的个数为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：由函数的定义域不关于原点对称判断①；由函数f（x）=1的图象不关于原点对称判断②；
由互为反函数的两个函数图象间的关系判断③；根据函数图象的翻折与平移判断④．

解答： 解：①函数f（x）=

sin2x+sinx

sinx+1

的定义域为{x|x≠2kπ-

π

2

，k∈Z}，图象不关于原点对称，不是奇函数，①错误；
②函数f（x）=1是偶函数不是奇函数，②错误；
③函数y=(

1

3

)x与y=-log₃x互为反函数，图象关于直线y=x对称，③正确；
④若y=f（x）是定义在R上的函数，
函数y=f（1+x）是把y=f（x）的图象向左平移1个单位得到的，y=f（1-x）是由y=f（x）得到y=f（-x），
在把y=f（-x）右移1个单位得到y=f[-（x-1）]，∴y=f（1+x）与y=f（1-x）的图象关于y轴对称，④正确．
∴正确的命题是③④．
故选：B．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数奇偶性的性质，考查了函数图象的对称性，是中档题．