题目内容

已知函数f（x）=2cosxsin（x+
π
3
）-
3
2
．
（1）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期内的图象；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）求函数f（x）取得最大值和最小值时的集合．
考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象,正弦函数的图象
专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质
分析：（1）先化简求出函数的解析式，然后列表描点即可用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期内的图象；
（2）令2kπ-
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
π
2
，k∈Z，令2kπ+
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
3π
2
，k∈Z，可解得函数f（x）的单调区间；
（3）令2x+
π
3
=2kπ+
π
2
，k∈Z，2x+
π
3
=2kπ+
3π
2
，k∈Z，从而可求函数f（x）取得最大值和最小值时的集合．
解答： 解：（1）f（x）=2cosxsin（x+
π
3
）-
3
2
=
1
2
sin2x+
3
2
（1+cos2x）-
3
2
=sin（2x+
π
3
）
列表：…（6分）
x-
π
6
π
12
π
3
7π
12
5π
6
2x+
π
3
0
π
2
π
3π
2
2π
y010-10
描点、连线如图所示．…（12分）

（2）令2kπ-
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
π
2
，k∈Z，可解得kπ-
5π
12
≤x≤kπ+
π
12
，k∈Z，故函数f（x）的单调递增区间是[kπ-
5π
12
，kπ+
π
12
]，k∈Z；
令2kπ+
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
3π
2
，k∈Z，可解得kπ+
π
12
≤x≤kπ+
7π
12
，k∈Z，故函数f（x）的单调递增区间是[kπ+
π
12
，kπ+
7π
12
]，k∈Z；
（3）由f（x）max=1，可解得2x+
π
3
=2kπ+
π
2
，k∈Z，从而有x=kπ+
π
12
，k∈Z；
由f（x）min=-1，可解得2x+
π
3
=2kπ+
3π
2
，k∈Z，从而有x=kπ+
7π
12
，k∈Z．
点评：本题主要考查了五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．
练习册系列答案
相关题目
若
OP1
=
a
，
OP2
=
b
，
P1P
=λ
PP2
(λ≠-1)，则
OP
=（　　）
A、
a
+λ
b
B、λ
a
+(1-λ)
b
C、λ
a
+
b
D、
1
1+λ
a
+
λ
1+λ
b
已知PA⊥平面ABC，垂足为A，∠ABC=120°，PA=AB=BC=6，则PC=
 
．
若以曲线y=f（x）上任意一点M（x1，y1）为切点作切线l1，曲线上总存在异于M的点N（x2，y2），以点N为切点作切线l2，且l1∥l2，则称曲线y=f（x）具有“可平行性”．现有下列命题：
①函数y=（x-2）2+lnx的图象具有“可平行性”；
②定义在（-∞，0）∪（0，+∞）的奇函数y=f（x）的图象都具有“可平行性”；
③三次函数f（x）=x3-x2+ax+b具有“可平行性”，且对应的两切点M（x1，y1），N（x2，y2）的横坐标满足x1+x2=
2
3
；
④要使得分段函数f（x）=
x+
1
x
(m＜x)
ex-1(x＜0)
的图象具有“可平行性”，当且仅当实数m=1．其中的真命题是
 
．（写出所有真命题的序号）
已知函数f（x）=（
1
2
）|x-1|+a|x+2|．当a=1时，f（x）的单调递减区间为
 
；当a=-1时，f（x）的单调递增区间为
 
．
已知全集U={x|2≤x≤10，且x∈N}．集合A={3，4，6，8}，B={3，5，8，9}，那么集合{2，7，10}=（　　）
A、A∪B
B、A∩B
C、（∁UA）∩（∁UB）
D、（∁UA）∪（∁UB）
已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞4”的（　　）
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件
右图为函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜
π
2
）的部分图象，M、N是它与x轴的两个交点，D、C分别为它的最高点和最低点，E（0，1）是线段MD的中点，且
MD
•
MN
=
π2
8
，则函数f（x）的解析式为
 
．
如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AD=1，E、F分别为PD、AC上的动点，且
DE
DP
=
AF
AC
=λ，（0＜λ＜1）．
（Ⅰ）若λ=
1
2
，求证：EF∥平面PAB；
（Ⅱ）求三棱锥E-FCD体积最大值．

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