Question

已知函数f （x）=ax-e^x（a∈R），g（x）=

1nx

x

．
（I）求函数f （x）的单调区间；
（Ⅱ）?x₀∈（0，+∞），使不等式f （x）≤g（x）-e^x成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）f′（x）=a-e^x，x∈R．对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出；
（Ⅱ）由?x₀∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）-e^x，即a≤

lnx

x2

．设h（x）=

lnx

x2

，则问题转化为a≤(

lnx

x2

)max，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=a-e^x，x∈R．
当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在R上单调递减；
当a＞0时，令f′（x）=0得x=lna．
由f′（x）＞0得f（x）的单调递增区间为（-∞，lna）；
由f′（x）＜0得f（x）的单调递减区间为（lna，+∞）．
（Ⅱ）∵?x₀∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）-e^x，则ax≤

lnx

x

，即a≤

lnx

x2

．
设h（x）=

lnx

x2

，则问题转化为a≤(

lnx

x2

)max，
由h′（x）=

1-2lnx

x3

，令h′（x）=0，则x=

e

．
当x在区间（0，+∞） 内变化时，h′（x）、h（x）变化情况如下表：

x	(0， e )	e	( e ，+∞)
h′（x）	+	0	-
h（x）	单调递增	极大值 1 2e	单调递减

由上表可知，当x=

e

时，函数h（x）有极大值，即最大值为

1

2e

．
∴a≤

1

2e

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．