Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+Φ）（A＞0，ω＞0，0＜Φ＜

π

2

）图象的最高点M（

π

12

，3），且f（x）的最小正周期为π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（

x

2

+

π

12

），α，β∈（0，π），且g（α）=1，g（β）=

3

4

2

，求g（α+β）的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（1）由题意即周期公式可得ω的值，由图象的最高点M（

π

12

，3），可得A=3，有3sin（2×

π

12

+Φ）=3，从而可解得Φ的值，即可求得f（x）的解析式．
（2）由题意可得g（x）=3cosx，从而可求cosα，cosβ，由α，β∈（0，π），可得sinα，sinβ即可求得g（α+β）的值．

解答： 解：（1）∵f（x）的最小正周期为π．
∴ω=

2π

T

=

2π

π

=2，
∵图象的最高点M（

π

12

，3），
∴A=3，
∴有3sin（2×

π

12

+Φ）=3，
∴可解得：

π

6

+Φ=2kπ+

π

2

，k∈Z，可得Φ=2kπ+

π

3

，k∈Z，
∵0＜Φ＜

π

2

，
∴Φ=

π

3

，
∴f（x）的解析式是：f（x）=3sin（2x+

π

3

）．
（2）∵g（x）=f（

x

2

+

π

12

）=3sin[2（

x

2

+

π

12

）+

π

3

]=3sin（x+

π

2

）=3cosx．
∴g（α）=3cosα=1，可得：cosα=

1

3

，g（β）=3cosβ=

3

4

2

，可得：cosβ=

2

4

∵α，β∈（0，π），
∴sinα=

1-cos2α

=

2 2

3

，sinβ=

1-cos2β

=

14

4

∴g（α+β）=3cos（α+β）=3（cosαcosβ-sinαsinβ）=3×

1

3

×

2

4

-3×

2 2

3

×

14

4

=

2

4

-

7

点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，同角三角函数关系式，两角和的余弦公式的应用，属于基础题．