Question

如图所示，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=

1

2

AD．
（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；
（2）在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）设PA=1，由勾股定理逆定理得AC⊥CD，根据线面垂直的性质可知PA⊥CD，又PA∩AC=A，根据线面垂直的判定定理可知CD⊥面PAC，而CD?面PCD，根据面面垂直的判定定理可知面PAD⊥面PCD；
（2）作CF∥AB交于AD于F，作EF∥AP交于PD于E，连接CE，根据面面平行的性质定理可知平面EFC∥平面PAB，又CE?平面EFC，根据面面平行的性质可知CE∥平面PAB，根据线面关系可知E为PD中点，使CE∥面PAB．

解答： 解：（1）设PA=1．
由题意PA=BC=1，AD=2．（2分）
∵AB=1，BC=

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2

AD，由∠ABC=∠BAD=90°，得CD=AC=

2

．
由勾股定理逆定理得AC⊥CD．（3分）
又∵PA⊥面ABCD，CD?面ABCD，
∴PA⊥CD．又PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC．（5分）
又CD?面PCD，∴面PAC⊥面PCD．（6分）
（2）作CF∥AB交于AD于F，作EF∥AP交于PD于E，连接CE．（8分）
∵CF∥AB，EF∥PA，CF∩EF=F，PA∩AB=A，
∴平面EFC∥平面PAB．（10分）
又CE?平面EFC，∴CE∥平面PAB．
∵BC=

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2

AD，AF=BC，
∴F为AD的中点，∴E为PD中点．
故棱PD上存在点E，且E为PD中点，使CE∥面PAB．（12分）

点评：本小题主要考查空间中的线面关系，考查线面平行、面面垂直的判定，考查空间想象能力和推理论证能力，考查转化思想，属于中档题．