Question

14．已知椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$的左、右焦点F₁，F₂与双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦点重合．且直线x-y-1=0与双曲线右支相交于点P，则当双曲线离心率最小时的双曲线方程为（　　）

• A． ${x^2}-\frac{y^2}{8}=1$
• B． $\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{3}=1$
• C． $\frac{x^2}{7}-\frac{y^2}{2}=1$
• D． $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$

Answer 1

分析 由题意方程，求得双曲线的焦点坐标，当双曲线离心率最小时，直线y=x-1与双曲线相切，将直线方程代入双曲线方程，由△=0，即可求得a和b的值，求得双曲线方程．

解答 解：由椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$的左、右焦点F₁（-3，0），F₂（3，0），
∴双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦点F₁（-3，0），F₂（3，0），则c=3，
则a²+b²=9，
当双曲线离心率最小时，直线y=x-1与双曲线相切，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，整理得（b²-a²）x²+2a²x-a²-a²b²=0，
可得△=4a⁴+4（b²-a²）（a²+a²b²）=0，化为a²-b²=1，
解得a²=5，b²=4，
∴双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{5}-\frac{{x}^{2}}{4}=1$，
故选D．

点评 本题考查双曲线的标准方程，直线与双曲线的位置关系，直线与双曲线相切的条件，考查计算能力，属于中档题．