已知P是ABC所在平面内一点.$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{0}$.现将一粒黄豆随机撒在ABC内.则黄豆落在PBC内的概率是( )A．$\frac{3}{13}$B．$\frac{2}{3}$C．$\frac{3}{10}$ 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．已知P是ABC所在平面内一点，$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{0}$，现将一粒黄豆随机撒在ABC内，则黄豆落在PBC内的概率是（　　）

A．

$\frac{3}{13}$

B．

$\frac{2}{3}$

C．

$\frac{3}{10}$

D．

$\frac{10}{13}$

分析根据平面向量的运算性质得出P在AD上的位置，从而得出两三角形的面积比，得出几何概型的概率．

解答解：取BC的中点D，连结PD，则$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PD}$，
∵$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{0}$，∴$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$=-$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{PA}$，
∴2$\overrightarrow{PD}$=-$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{PA}$，即$\overrightarrow{PD}$=-$\frac{3}{10}$$\overrightarrow{PA}$，
∴A，P，D三点共线，PD=$\frac{3}{13}$AD，
∴$\frac{{S}_{△PBC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{3}{13}$，
∴黄豆落在PBC内的概率为$\frac{3}{13}$．
故选A．

点评本题考查了平面向量的线性运算，几何概型的概率计算，属于中档题．

练习册系列答案

9．已知数列{a_n}的通项公式是${a_n}=\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}$，（n∈N^*），记b_n=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）
（1）写出数列{b_n}的前三项；
（2）猜想数列{b_n}通项公式，并用数学归纳法加以证明．

6．已知圆C：x²+y²+Dx+Ey+3=0关于直线x+y-1=0对称，半径为$\sqrt{2}$，且圆心C在第二象限．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）不过原点的直线l在x轴、y轴上的截距相等，且与圆C相切，求直线l的方程．

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），且圆M：x²+y²-$\frac{3}{2}$x-1=0过椭圆C的上、下、右三个顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程和离心率；
（Ⅱ）将椭圆C的横坐标变为原来的$\frac{\sqrt{2}}{2}$倍，纵坐标不变．得到椭圆C′的方程，已知直线l与椭圆C′只有1个交点，探究．是否存在两个定点P（x₁，0）、Q（x₂，0），且x₁＜x₂，使得P，Q到直线l的距离之积为1，如果存在，求出这两个定点的坐标，如果不存在，说明理由．

14．已知椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$的左、右焦点F₁，F₂与双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦点重合．且直线x-y-1=0与双曲线右支相交于点P，则当双曲线离心率最小时的双曲线方程为（　　）

A．

${x^2}-\frac{y^2}{8}=1$

B．

$\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{3}=1$

C．

$\frac{x^2}{7}-\frac{y^2}{2}=1$

D．

$\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$

1．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，点$P（{-1，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）$在椭圆C上，|PF₂|=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，过点F₁的直线l与椭圆C分别交于M，N两点．
（1）求椭圆C的标准方程和离心率；
（2）若△OMN的面积为$\frac{12}{11}$，O为坐标原点，求直线l的方程．

18．已知函数f（x）=2x-（x+1）lnx，g（x）=xlnx-ax²-1．
（1）求证：对?x∈（1，+∞），f（x）＜2；
（2）若方程g（x）=0有两个根，设两根分别为x₁、x₂，求证：$\frac{ln{x}_{1}+ln{x}_{2}}{2}$＞1+$\frac{2}{\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}}$．

19．参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=4cosθ\\ y=3sinθ\end{array}$（θ为参数）表示的曲线是（　　）

	A．	以$（{±\sqrt{7}，0}）$为焦点的椭圆		B．	以（±4，0）为焦点的椭圆
	C．	离心率为$\frac{{\sqrt{7}}}{5}$的椭圆		D．	离心率为$\frac{3}{5}$的椭圆

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