Question

13．已知$\overrightarrow m=（{sin（{x-\frac{π}{6}}），1}），\overrightarrow n=（{cosx，1}）$．，
（1）若$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$，求tanx的值；
（2）若函数$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$，求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）根据向量的平行和两角差的正弦公式即可求出，
（2）根据向量的数量公式和二倍角公式两角差的正弦公式化简f（x），再根据正弦函数图象和性质即可求出单调递增区间．

解答 解：（1）由$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$可得sin（x-$\frac{π}{6}$）-cosx=0，展开变形可得$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{3}{2}$cosx=0，
∴sinx=$\sqrt{3}$cosx，
∴tanx=$\sqrt{3}$，
（2）$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$=sin（x-$\frac{π}{6}$）cosx+1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$cos²x+1=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x-$\frac{1}{4}$cos2x+$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{4}$，
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
即-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]，k∈Z

点评 本题考查了向量的平行和数量积，以及三角函数的恒等变化，属于中档题