Question

直线L的倾斜角为45°，在y轴上的截距是2，抛物线y²=2px（p＞0）上一点P₀（2，y₀）到其焦点F的距离为3，M为抛物线上一动点，求动点M到直线L的距离的最小值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质,点到直线的距离公式

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知条件，求出直线L的方程和抛物线方程，再由点到直线的距离公式能求出动点M到直线L的距离的最小值．

解答： 解：∵直线L的倾斜角为45°，在y轴上的截距是2，
∴L的方程：y=x+2，即x-y+2=0…（3分）
∵抛物线y²=2px（p＞0）上一点P₀（2，y₀）到其焦点F的距离为3，
∴由定义知：2+

P

2

=3，解得P=2，
∴抛物线的方程是：y²=4x．…（6分）
设M（x，y），则M到直线L的距离为
d=

|x-y+2|

2

=

| y2 4 -y+2|

2

=

|y2-4y+8|

4 2

=

(y-2)2+4

4 2

≥

2

2

，…（10分）
当y=2时，“=”成立，此时M（1，2），
∴动点M到直线L的距离的最小值是

2

2

．…（12分）

点评：本题考查点到直线的最小值的求法，解题时要熟练掌握直线方程、抛物线方程的求法，是中档题．