Question

一组数据4、7、10、6、9，n是这组数据的中位数，设f（x）=（

1

x

-x²）ⁿ．
（1）求f（x）的展开式中x^-1的项的系数；
（2）求f（x）的展开式中系数最大的项和系数最小的项．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：计算题,二项式定理

分析：（1）依题意有：这组数据的中位数是7，即n=7，可得f（x）的展开式的通项T_r+1，令x的指数为-1，即可求f（x）的展开式中x^-1的项的系数；
（2）f（x）的展开式中共8项，其中第4项和第5项的二项式系数最大，而第5项的系数等于第5项二项式系数，第4项的系数等于第4项二项式系数的相反数，即可求f（x）的展开式中系数最大的项和系数最小的项．

解答： 解：（1）依题意有：这组数据的中位数是7，即n=7，
故f（x）的展开式中T_r+1=

C

r 7

(x-1)7-r(-x2)r=

C

r 7

(-1)rx3r-7，
由3r-7=-1可知r=2，故展开式中x^-1的项的系数为

C

2 7

(-1)2=21（6分）；
（2）f（x）的展开式中共8项，其中第4项和第5项的二项式系数最大，
而第5项的系数等于第5项二项式系数，故第5项的系数最大，
即最大项为T5

=C

4 7

(x-1)3(-x2)4=35x⁵，第4项的系数等于第4项二项式系数的相反数，
故第4项的系数最小，即最小项为T4

=C

3 7

(x-1)4(-x2)3=-35x²（12分）

点评：本题考查二项式定理的运用，考查展开式中的系数，确定展开式的通项是关键．