Question

已知定义在R上的函数f(x)=

2x

a

-

a

2x

(a＞0)有一个零点为0．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义法证明．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据函数零点的定义，建立方程即可求实数a的值；
（Ⅱ）根据函数奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）根据函数单调性的定义即可判断f（x）在（0，+∞）上的单调性．

解答： 解：（Ⅰ）定义在R上的函数f(x)=

2x

a

-

a

2x

(a＞0)有一个零点为0．
∴f（0）=0，
即f（0）=

1

a

-a=0，
∵a＞0，∴a=1．；
（Ⅱ）当a=1时，
f（x）=2^x-2^-x，
则f（-x）=2^-x-2^x=-（2^x-2^-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数；
（Ⅲ）f（x）在（0，+∞）上的单调递增．
任意设0＜x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=2x1-2-x1-2x2+2-x2=(2x1-2x2)+

1

2x2

-

1

2x1

=(2x1-2x2)

2x12x2-1

2x12x2

，
∵0＜x₁＜x₂，
∴2x1-2x20，
∴f(x1)-f(x2)=(2x1-2x2)

2x12x2-1

2x12x2

＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上的单调递增．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数奇偶性的定义和单调性的定义是解决本题的关键．