Question

设函数f（x）=lnx-mx（m＞0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）判断函数f（x）在区间[1，e]上的零点个数．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：（1）先研究函数的定义域，然后根据导数大于零求增区间，导数小于零求减区间，注意分类讨论；
（2）结合（1）中函数的单调性，研究函数在该区间上的极值，最值以及端点值的符号，最终确定函数在该区间上零点的个数．

解答： 解：（Ⅰ）由题得f′(x)=

1

x

-m=

-m(x- 1 m )

x

(x＞0，m＞0)，
当0＜x＜

1

m

时，f'（x）＞0；当x＞

1

m

时，f'（x）＜0，
所以函数f（x）的单调递增区间是(0，

1

m

)，单调递减区间是(

1

m

，+∞)，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数f（x）在(0，

1

m

)上单调递增，在(

1

m

，+∞)上单调递减，
所以函数f（x）在区间[1，e]上最多有2个零点，
而且f(x)max=f(

1

m

)=ln

1

m

-1，f（1）=-m＜0；
（ⅰ）若函数f（x）在区间[1，e]上有2个零点，
则

f(e)≤0 1＜ 1 m ＜e f( 1 m )＞0 m＞0

，此不等式组无解，
所以不存在m＞0，使函数f（x）在区间[1，e]上有2个零点；
（ⅱ） 若函数f（x）在区间[1，e]上仅有1个零点，
则

f(e)≥0 m＞0

，解得0＜m≤

1

e

，
所以当0＜m≤

1

e

时，函数f（x）在区间[1，e]上仅有1个零点，
（ⅲ） 若函数f（x）在区间[1，e]上无零点，
结合（ⅱ）知m＞

1

e

，即0＜

1

m

＜e，
则

f(e)＜0 f( 1 m )＜0 m＞0

，解得m＞

1

e

，
所以当m＞

1

e

时，函数f（x）在区间[1，e]上无零点．
综上所述，当0＜m≤

1

e

时，函数f（x）在区间[1，e]上有1个零点，
当m＞

1

e

时，函数f（x）在区间[1，e]上无零点．

点评：本题考查了函数的单调区间的求法，以及利用导数研究函数的极值、最值和端点值，最终确定函数在区间上的零点个数的方法．要注意结合图象解决问题．