Question

已知两定点M（-2，0），N（2，0），若直线上存在点P，使得|PM|-|PN|=2，则称该直线为“A型直线”．给出下列直线：①y=x+1，②y=

3

x+2，③y=-x+3，④y=-2x．
其中是“A型直线”的序号是

 

．

Answer 1

考点：点到直线的距离公式

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知得点P的轨迹方程方程为：x²-

y2

3

=1，（x≥1），其渐近线方程为：y=±

3

x，由此能求出结果．

解答： 解：∵两定点M（-2，0），N（2，0），直线上存在点P（x，y），使得|PM|-|PN|=2，
∴点P的轨迹是双曲线，其中2a=2，2c=4，
∴点P的轨迹方程方程为：x²-

y2

3

=1，（x≥1），
∴其渐近线方程为：y=±

3

x，
∵①y=x+1经过（0，1）且斜率k=1＜

3

，
∴该直线与双曲线x²-

y2

3

=1（x≥1）有交点，
∴该直线是“A型直线”；
对于②，∵y=

3

x+2经过（0，2），且斜率k=

3

，
显然该直线与其渐近线方程y=

3

x平行，该直线与双曲线无交点，
∴该直线不是“A型直线”，即②不符合；
对于③，∵y=-x+3经过（0，3）且斜率k=-1，
∴该直线与双曲线x²-

y2

3

=1（x≥1）有交点，故③符合；
同理可得，④y=-2x的斜率k=-2＜-

3

，
∴该直线与双曲线x²-

y2

3

=1（x≥1）无交点，
综上所述，①③符合．
故答案为：①③．

点评：本题考查“A型直线”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．