Question

已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=ln（1-x）．
（1）求函数h（x）=f（x）-g（x）的定义域；
（2）判断函数h（x）=f（x）-g（x）的奇偶性，并加以证明；
（3）求不等式f（x）-g（x）＞0的解集．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,函数的定义域及其求法,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）分别求解f（x）和g（x）的定义域取交集得答案；
（2）直接利用函数奇偶性的定义加以判断并证明；
（3）利用对数的单调性求解对数不等式．

解答： 解：（1）由

x+1＞0 1-x＞0

，解得-1＜x＜1．
∴函数h（x）=f（x）-g（x）的定义域为（-1，1）；
（2）h（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-ln（1-x）=ln

1+x

1-x

为奇函数．
事实上，∵h（-x）=ln

1-x

1+x

=ln(

1+x

1-x

)-1=-ln

1+x

1-x

=-h（x），
∴函数h（x）为奇函数；
（3）由f（x）-g（x）＞0，得
ln（x+1）＞ln（1-x）．
∴

x+1＞0 1-x＞0 x+1＞1-x

，解得0＜x＜1．
∴不等式f（x）-g（x）＞0的解集为（0，1）．

点评：本题考查了基本初等函数的性质，考查了对数不等式的解法，是基础题．