Question

9．已知实数a＞0，b＞0，函数f（x）=ax²+b满足：对任意实数x，y，有f（xy）+f（x+y）≥f（x）f（y），则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，1]
• B． （0，1）
• C． （0，2）
• D． （0，2]

Answer 1

分析 令x=y，可得f（x²）+f（2x）≥f²（x），即有ax⁴+b+4ax²+b≥a²x⁴+2abx²+b²，即为（a-a²）x⁴+（4a-2ab）x²+2b-b²≥0，讨论二次项的系数为0和大于0，结合单调性，即可得到所求a的范围．

解答 解：令x=y，可得f（x²）+f（2x）≥f²（x），
即有ax⁴+b+4ax²+b≥a²x⁴+2abx²+b²，
即为（a-a²）x⁴+（4a-2ab）x²+2b-b²≥0，
当a-a²=0，即a=1，（4-2b）x²+2b-b²≥0，
当2-b≥0即b≤2时，不等式恒成立；
当a-a²＞0，即0＜a＜1时，2b-b²≥0，即b≤2，
且-$\frac{4a-2ab}{a-{a}^{2}}$≤0，成立．
综上可得a的范围是（0，1）．
故选：B．

点评 本题考查二次函数的单调性的运用，同时考查不等式恒成立问题，注意运用分类讨论的思想方法，属于中档题．