Question

14．已知p：“当x∈R时，不等式x²+mx+$\frac{m}{2}$+2≥0恒成立”；q：“抛物线y²=2mx（m＞0）的焦点到其顶点的距离大于$\frac{1}{2}$”．若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 根据条件分别求出命题p，q为真命题．的等价条件，根据复合命题真假之间的关系进行求解即可．

解答 解：若当x∈R时，不等式x²+mx+$\frac{m}{2}$+2≥0恒成立，
则判别式△=m²-4（$\frac{m}{2}$+2）≤0，
即m²-2mx-8≤0，
即-2≤m≤4，即p：-2≤m≤4，
抛物线抛物线y²=2mx（m＞0）的焦点坐标F（$\frac{m}{2}$，0），则|OF|=$\frac{m}{2}$，
由|OF|=$\frac{m}{2}$＞$\frac{1}{2}$得m＞1，即q：m＞1，
则若p∨q是真命题，p∧q是假命题，
则p，q为一真一假，
若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}{-2≤m≤4}\\{0＜m≤1}\end{array}\right.$，则0＜m≤1，
若p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}{m＞4或m＜-2}\\{m＞1}\end{array}\right.$，则m＞4，
综上0＜m≤1或m＞4．

点评 本题主要考查复合命题真假的判断和应用，根据条件求出命题的等价条件是解决本题的关键．