Question

3．如图1，AD是等腰直角三角形ABC斜边上的高AB=4，沿AD把△ABC的两部分折成直二面角（如图2），P，E，F分别为CD，CA，BA的中点．求证：
（1）AD∥平面BPF；
（2）求四面体BDFE的体积．

Answer 1

分析 （1）证明AD∥PF，通过直线与平面平行的判定定理证明AD∥面BPF．
（2）通过V_BDFEV_棱锥B-ADF-V_棱锥E-DAF求解几何体的体积即可．

解答 解：（1）证明：∵P，F分别为CD，CA的中点，∴AD∥PF，
又因为PF?面BPF，∴AD∥面BPF．
（2）∵AD为高所以AD⊥BD，AD⊥BC，又二面角为直二面角∠BDC为90°，
∴BD⊥DC．
∴BD⊥平面DAF．
V_BDFE=V_棱锥B-ADF-V_棱锥E-DAF=$\frac{1}{3}$S_△DAF•BD$-\frac{1}{3}{S}_{△DAF}•\frac{1}{2}BD$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理以及几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．