Question

设a=

∫

2 0

（1-3x²）dx+4，则（x²+

a

x

）⁶的展开式中不含x³项的系数和是

 

．

Answer 1

考点：定积分,二项式系数的性质

专题：导数的概念及应用,二项式定理

分析：先根据点积分求出a的值，再根据通项公式求出含x³项的系数和，根据二项式的展开式定理，令x=1，求出展开式的所有项得系数和为1，问题得以解决．

解答： 解：a=

∫

2 0

（1-3x²）dx=（x-x³）

|

2 0

+4=2-8+4=-2，
∴(x2+

-2

x

)6展开式中第r+1项Tr+1=

c

r 6

•(-2)r•x12-3r．
令12-3r=3得r=3，
故x³项系数为

c

3 6

•(-2)3=-160，
令x=1，则展开式的所有项得系数和为（1-2）⁶=1
故不含x³项系数为1-（-160）=161．
故答案为：161．

点评：本题主要考查了定积分的计算和二项式展开式定理，属于基础题．