Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα）（0≤α＜2π），$\overrightarrow{b}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不共线．
（1）证明：向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$垂直；
（2）当两个向量$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\sqrt{3}$$\overrightarrow{b}$的模相等时，求角α．

Answer 1

分析 （1）计算两向量的模长可发现$\overrightarrow{a}$²=${\overrightarrow{b}}^{2}$=1．得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0即可．
（2）由（$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）²=（$\overrightarrow{a}$-$\sqrt{3}$$\overrightarrow{b}$）²，可得4+2$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4-2$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，⇒$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，即-$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα=0，tanα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即可求得α．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$²=cos²α+sin²α=1，${\overrightarrow{b}}^{2}$=（-$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=1．
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$=1-1=0，
∴向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$垂直．
（2）∵向量$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\sqrt{3}$$\overrightarrow{b}$的模相等，
∴（$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）²=（$\overrightarrow{a}$-$\sqrt{3}$$\overrightarrow{b}$）²，
整理得4+2$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4-2$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$⇒$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，
即-$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα=0，
∴tanα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵0≤α＜2π，∴α=$\frac{π}{6}$或$\frac{7π}{6}$．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算，数量积运算，属于基础题