Question

7．已知函数f（x）在R上可导，且f（0）=1，当x≠1时，其导函数满f′（x）满$\frac{f′（x）-f（x）}{x-1}$＞0，则下列结论错误的是（　　）

• A． y=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$在（1，+∞）上是增函数
• B． x=1是函数y=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$的极小值点
• C． 函数y=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$至多有两个零点
• D． x≤0时f（x）≤e^x恒成立

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，结合题意求出函数g（x）的单调区间以及函数的极值，从而判断结论即可．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
则g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
x＞1时，f′（x）-f（x）＞0，
故y=g（x）在（1，+∞）递增，A正确；
x＜1时，f′（x）-f（x）＜0，
故y=g（x）在（-∞，1）递减，
故x=1是函数y=g（x）的极小值点，故B正确；
若g（1）＜0，则y=g（x）有2个零点，
若g（1）=0，则函数y=g（x）有1个零点，
若g（1）＞0，则函数y=g（x）没有零点，故C正确；
由y=g（x）在（-∞，1）递减，则y=g（x）在（-∞，0）递减，
由g（0）=$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$=1，得x≤0时，g（x）≥g（0），
故$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$≥1，故f（x）≥e^x，故D错误；
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．