Question

10．已知$sin（\frac{π}{4}-α）=\frac{5}{13}，α∈（0，\frac{π}{4}）$，则$\frac{cos2α}{{cos（\frac{π}{4}+α）}}$=$\frac{24}{13}$．

Answer 1

分析 根据题意，结合α的取值范围，利用同角的三角函数关系和诱导公式、二倍角公式，即可求出结果．

解答 解：$sin（\frac{π}{4}-α）=\frac{5}{13}，α∈（0，\frac{π}{4}）$，
∴$\frac{π}{4}$-α∈（0，$\frac{π}{4}$），
∴cos（$\frac{π}{4}$-α）=$\sqrt{1{-sin}^{2}（\frac{π}{4}-α）}$=$\frac{12}{13}$，
∴cos2α=sin（$\frac{π}{2}$-2α）
=2sin$（\frac{π}{4}-α）$cos（$\frac{π}{4}$-α）
=2×$\frac{5}{13}$×$\frac{12}{13}$=$\frac{120}{169}$；
又cos（$\frac{π}{4}$+α）=cos[$\frac{π}{2}$-（$\frac{π}{4}$-α）]
=sin（$\frac{π}{4}$-α）
=$\frac{5}{13}$，
∴$\frac{cos2α}{{cos（\frac{π}{4}+α）}}$=$\frac{\frac{120}{169}}{\frac{5}{13}}$=$\frac{24}{13}$．
故答案为：$\frac{24}{13}$．

点评 本题考查了同角的三角函数关系和诱导公式、二倍角公式的应用问题，是中档题．