Question

3．给出下列四个命题：
①在△ABC中，若C＞$\frac{π}{2}$，则sinA＜cosB；
②已知点A（0，3），则函数y=$\sqrt{3}$cosx-sinx的图象上存在一点P，使得|PA|=1；
③函数y=cos²x+2bcosx+c是周期函数，且周期与b有关，与c无关；
④设方程x+sinx=$\frac{π}{2}$的解是x₁，方程x+arcsinx=$\frac{π}{2}$的解是x₂，则x₁+x₂=π．
其中真命题的序号是①③．（把你认为是真命题的序号都填上）

Answer 1

分析 ①利用三角形的内角和定理以及正弦函数的单调性判断；
②根据余弦函数的有界性解答；
③利用周期函数的定义，结合余弦函数的周期性判断；
④根据互为反函数图象的对称性解答．

解答 解：①在△ABC中，若C＞$\frac{π}{2}$，则A+B＜$\frac{π}{2}$，即A＜$\frac{π}{2}$-B$＜\frac{π}{2}$，所以sinA＜sin（$\frac{π}{2}$-B，）sinA＜cosB；故①正确；
②已知点A（0，3），则函数y=$\sqrt{3}$cosx-sinx=2cos（x+$\frac{π}{6}$）∈[-2，2]，所以它的图象上不存在一点P，使得|PA|=1；故②错误；
③函数y=cos²x+2bcosx+c是周期函数，且周期与b有关，与c无关；正确
④设方程x+sinx=$\frac{π}{2}$的解是x₁，方程x+arcsinx=$\frac{π}{2}$的解是x₂，设arcsinx₂=t，则sint=x₂，则x+arcsinx=$\frac{π}{2}$变形为sint+t=$\frac{π}{2}$，
观察得到x₁+sinx₁=$\frac{π}{2}$，t+sint=$\frac{π}{2}$则t，x₁是方程x+sinx=$\frac{π}{2}$的两根，
又因为，sint=x₂，故x₁，x₂是方程的两根，故x₁+x₂=$\frac{π}{2}$．故④错误；
故答案为：①③

点评 本题考查三角函数的周期，互为反函数图象的关系，方程的根，是综合题目，考查基本知识掌握的情况．