Question

4．函数f（x）=2sin（$\frac{π}{3}x+\frac{π}{6}$）（1＜x＜4）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于点B、C两点，则（$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$）$•\overrightarrow{OA}$=（　　）

• A． $\frac{25}{2}$
• B． $\frac{25}{4}$
• C． $\frac{25}{8}$
• D． 25

Answer 1

分析 由f（x）=0结合x的取值范围求出x的值，得出点A的坐标，再设点B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由B，C 两点关于A对称，得出x₁+x₂=5，y₁+y₂=0，计算（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）•$\overrightarrow{OA}$的值即可．

解答 解：由f（x）=2sin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{6}$）=0可得$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z；
∴x=3k-$\frac{1}{2}$，k∈Z；
又1＜x＜4，
∴x=$\frac{5}{2}$即A（$\frac{5}{2}$，0）；
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
又过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，
∴B，C 两点关于A对称，即x₁+x₂=5，y₁+y₂=0；
∴（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）•$\overrightarrow{OA}$=（x₁+x₂，y₁+y₂）•（$\frac{5}{2}$，0）=$\frac{5}{2}$（x₁+x₂）=$\frac{25}{2}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键正弦函数对称性质的应用．