题目内容
若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是 ．
考点：函数的零点与方程根的关系
专题：函数的性质及应用
分析：求导数f′（x），由题意知x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案．
解答：
解：∵f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，
∴f′（x）=3x2+2ax+b，
且x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，
不妨设x2＞x1，
由3（f（x））2+2af（x）+b=0，
则有两个f（x）使等式成立，
x1=f（x1），x2＞x1=f（x1），
如图所示：有3个交点，
故答案为：3．
解：∵f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，∴f′（x）=3x2+2ax+b，
且x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，
不妨设x2＞x1，
由3（f（x））2+2af（x）+b=0，
则有两个f（x）使等式成立，
x1=f（x1），x2＞x1=f（x1），
如图所示：有3个交点，
故答案为：3．
点评：本题主要考查函数零点的概念、函数的极值和函数的导数之间的关系，利用是数形结合是解决本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
在空间直角坐标系中，已知O （0，0，0），A（2，-1，3），B（2，1，1）．不等式组
的解在数轴上表示为（ ）
|
A、 |
B、 |
C、 |
D、 |
过点M（x，0）向圆x2+y2-12y+27=0作两条切线，则两切线的最大夹角为（ ）
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|