Question

已知椭圆C：4x²+y²=1及直线L：y=x+m．
（1）当直线L和椭圆C有公共点时，求实数m的取值范围；
（2）当直线L被椭圆C截得的弦最长时，求直线L所在的直线方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由方程组

4x2+y2=1 y=x+m

，得5x²+2mx+m²-1=0，由此利用根的判别式能求出实数m的取值范围．
（2）设直线L和椭圆C相交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理求出弦长|AB|=

2

5

10-8m2

，由此能求出当m=0时，|AB|取得最大值，此时直线L方程为y=x．

解答： 解：（1）由方程组

4x2+y2=1 y=x+m

，消去y，
整理得5x²+2mx+m²-1=0．（2分）
∴△=4m²-20（m²-1）=20-16m²（4分）
因为直线和椭圆有公共点的条件是△≥0，即20-16m²≥0，
解之得-

5

2

≤m≤

5

2

．（5分）
（2）设直线L和椭圆C相交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韦达定理得

x1+x2=- 2m 5 x1x2= m2-1 5

，（8分）
∴弦长|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2[ 4m2 25 - 4(m2-1) 5 ]

=

2

5

10-8m2

，-

5

2

≤m≤

5

2

，
∴当m=0时，|AB|取得最大值，此时直线L方程为y=x．（10分）

点评：本题考查实数的取值范围的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用．