Question

已知函数f（x）=

2

3

x³-ax²-2ax，其中a∈R．
（Ⅰ）若x=1是函数f（x）的极值点，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：（1）利用x=1时的导数为0列方程，解出a的值；
（2）由已知f′（x）≥0在（2，+∞）上恒成立，只需分离a，然后构造函数，求其最小（大）值即可．

解答： 解：（Ⅰ）由f(x)=

2

3

x3-ax2-2ax，得f′（x）=2x²-2ax-2a．
因为x=1是函数f（x）的极值点，
所以f′（1）=2-2a-2a=0，解得a=

1

2

．
经检验x=1为函数f（x）的极值点，
所以a=

1

2

．
（Ⅱ）∵f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，
∴f'（x）=2x²-2ax-2a≥0在区间（2，+∞）上恒成立，
∴a≤

x2

x+1

对区间x∈（2，+∞）恒成立，
令g（x）=

x2

x+1

，则g'（x）=

2x(x+1)-x2

(x+1)2

=

x2+2x

(x+1)2

∴当x∈（2，+∞）时，g'（x）＞0，有g（x）=

x2

x+1

＞g（2）=

4

3

，
∴a的取值范围为（-∞，

4

3

]．

点评：本题考查了利用导数研究函数的极值、单调性的问题．后者一般转化为函数的最值问题，能分离参数的尽量分离．