Question

6．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²-x+b，其中a，b为常数．讨论函数f（x）在区间（a，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析 利用导数判定函数f（x）的单调区间，再讨论a的取值，从而得出函数f（x）在区间（a，+∞）上的单调性．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²-x+b，a，b为常数；
∴f′（x）=x²+2ax-1，
∴△=4a²+4＞0；
∴方程f′（x）=0有两个实数根，
解得x₁=-a+$\sqrt{{a}^{2}+1}$，x₂=-a-$\sqrt{{a}^{2}+1}$；
则当x≤-a-$\sqrt{{a}^{2}+1}$或x≥-a+$\sqrt{{a}^{2}+1}$时，f′（x）≥0，f（x）是增函数；
当-a-$\sqrt{{a}^{2}+1}$＜x＜-a+$\sqrt{{a}^{2}+1}$时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；
讨论：①当a≥-a+$\sqrt{{a}^{2}+1}$，即2a≥$\sqrt{{a}^{2}+1}$，解得a≥$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，
f（x）在区间（a，+∞）上是单调增函数；
②当-a-$\sqrt{{a}^{2}+1}$＜a＜-a+$\sqrt{{a}^{2}+1}$，即-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜a＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，
f（x）在区间（a，-a+$\sqrt{{a}^{2}+1}$）上是单调减函数，在区间[-a+$\sqrt{{a}^{2}+1}$，+∞）上是单调增函数；
③当a≤-a-$\sqrt{{a}^{2}+1}$，即a≤-$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，
f（x）在区间（a，-a-$\sqrt{{a}^{2}+1}$]与[-a，+$\sqrt{{a}^{2}+1}$）上是单调增函数，
在区间（-a-$\sqrt{{a}^{2}+1}$，-a+$\sqrt{{a}^{2}+1}$）上是单调减函数．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．