Question

6．已知A（0，-1）是焦点在x轴上的椭圆C的一个顶点，F是椭圆C的右焦点，直线AF与椭圆C的另一个交点为B，满足|AF|=5|FB|．以D（-1，1）为圆心的⊙D与椭圆C交于M，N两点，满足|AM|=|AN|．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求圆心D到直线MN的距离d的值．

Answer 1

分析 （1）由题意设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1$，且F（c，0），由此利用椭圆性质能求出椭圆C的标准方程．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且E（x₀，y₀）为MN的中点，利用点差法求出${x_0}=-\frac{3}{4}$，${y_0}=\frac{1}{2}$．由此能求出圆心D到直线MN的距离．

解答 解：（1）由题意设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1$，且F（c，0），
则由|AF|=5|FB|，知B（$\frac{6c}{5}，\frac{1}{5}$），代入椭圆C的方程并化简得2a²=3c²=3（a²-1），即a²=3，
故椭圆C的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且E（x₀，y₀）为MN的中点，
则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{3}+{{y}_{1}}^{2}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{3}+{{y}_{2}}^{2}$=1．
两式相减得${{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}+3（{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}）=0$，故2x₀+6y₀•k_MN=0．
∵|AM|=|AN|，故点A在线段MN的中垂线上．又点D在线段MN的中垂线上，
∴A，E，D三点共线，且AD⊥MN．k_AD=-2，∴${k_{MN}}=\frac{1}{2}$，从而${y_0}=\frac{{-2{x_0}}}{3}$．
∵$-2={k_{AD}}={k_{AE}}=\frac{{{y_0}+1}}{x_0}$，解得${x_0}=-\frac{3}{4}$，${y_0}=\frac{1}{2}$．
∴圆心D到直线MN的距离d=|DE|=$\frac{\sqrt{5}}{4}$．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查圆心到直线距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．