Question

16．已知a，b为常数，且a≠0，f（x）=ax²+bx，f（2）=0，方程f（x）=x有两个相等的实数根．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[t-1，t]时，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由f（2）=0可得a，b之间的关系，然后由f（x）=x有两个相等的实数根可得△=0，从而可求a，b，进而可求函数解析式．
（2）先求出对称轴，再分类讨论，根据函数的单调性即可求出最大值．

解答 解：（1）∵f（2）=0
∴4a+2b=0即b=-2a
∵f（x）=x有两个相等的实数根．
即x²+（b-1）x=0有两个相等的实数根．
∴△=（b-1）²=0
∴b=1，a=-$\frac{1}{2}$，f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x
（2）由（1）知f（x）的对称轴为x=1，
当t-1≥1时，即t≥2时，f（x）在[t-1，t]上单调递增，f（x）_max=f（t）=-$\frac{1}{2}$t²+t，
当t≤1时，f（x）在[t-1，t]上单调递减，f（x）_max=f（t-1）=-$\frac{1}{2}$（t-1）²+t-1=-$\frac{1}{2}$t²+2t-$\frac{3}{2}$，
当t-1＜1，且t＞1时，即1＜t＜2时，f（x）在[t-1，1]上单调递减，[1，t]上单调递增，
f（t）=-$\frac{1}{2}$t²+t，f（t-1）=-$\frac{1}{2}$t²+2t-$\frac{3}{2}$，
当f（t）≥f（t-1）时，即1＜t≤$\frac{3}{2}$，
当f（t）＜f（t-1）时，即$\frac{3}{2}$＜t＜2，
综上所述，f（x）的最大值为g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{t}^{2}+2t-\frac{3}{2}，t≤1或\frac{3}{2}＜t＜2}\\{-\frac{1}{2}{t}^{2}+t，1＜t≤\frac{3}{2}或t≥2}\end{array}\right.$

点评 本题题主要考查了二次函数的性质的应用，关键是正确分类，属于中档题．