Question

7．在△ABC中，c（cosA+cosB）=a+b，试判断三角形的形状．

Answer 1

分析 利用三角形中，sinB=sin（A+C）可求得sinB=sinAcosC+cosAsinC，与已知sinA+sinB=sinC•（cosA+cosB）联立，可求得cosC（sinB+sinA）=0，从而可判断△ABC的形状．

解答 解：∵sinB=sin[180°-（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
又∵c（cosA+cosB）=a+b，
∴利用正弦定理可得：sinA+sinB=sinC•（cosA+cosB），
∴sinA+sinAcosC+cosAsinC=sinCcosA+sinCcosB，
∴sinA=sinCcosB-sinAcosC，
在△ABC中，sinA=sin（B+C），
∴sin（B+C）=sinCcosB-sinAcosC，即sinBcosC+cosBsinC=sinCcosB-sinAcosC，
∴cosC（sinB+sinA）=0，
∵sinB＞0，sinA＞0，
∴cosC=0，
∴a²+b²=c²，
∴△ABC是直角三角形．

点评 本题考查三角形的形状判断，着重考查两角和的正弦，求得cosC（sinB+sinA）=0是转化的关键，属于中档题．