Question

19．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$a，c）与$\overrightarrow{n}$=（1+cosA，sinC）为共线向量．
（1）求角A；
（2）若3bc=16-a²，且S_△ABC=$\sqrt{3}$，求b，c的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量共线的条件，建立等式，利用正弦定理，将边转化为角，利用和角公式，即可得到结论；
（2）利用余弦定理，求得b+c=4，再由S_△ABC=$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc，bc=4，即可求b，c的值．

解答 解：（1）由已知得$\sqrt{3}$asinC=c（cosA+1），
∴由正弦定理得$\sqrt{3}$sinAsinC=sinC（cosA+1），．            …（2分）
∴$\sqrt{3}$sinA-cosA=1，故sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．…（4分）
由0＜A＜π，得A=$\frac{π}{3}$；                                              …（6分）
（2）在△ABC中，16-3bc=b²+c²-bc，
∴（b+c）²=16，故b+c=4． ①…（9分）
又S_△ABC=$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc，
∴bc=4．②…（11分）
联立①②式解得b=c=2．…（12分）

点评 本题考查向量知识的运用，考查正弦定理、余弦定理，解题的关键是边角互化，属于中档题．