Question

6．一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图象P₀点）开始计算时间，且点P距离水面的高度f（t）（米）与时间t（秒）满足函数：f（t）=Asin（ω+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）．
（1）求函数f（t）的解析式；
（2）点P第二次到达最高点要多长时间？

Answer 1

分析 （1）先根据z的最大和最小值求得A和B，利用周期求得ω，当x=0时，z=0，进而求得φ的值，则函数的表达式可得；
（2）令f（t）=4sin（$\frac{π}{6}t-\frac{π}{6}$）+2=6，）⇒sin（$\frac{π}{6}t-\frac{π}{6}$）=1，$\frac{π}{6}t-\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{2}$解得t．

解答 解：（1）依题意可知z的最大值为6，最小为-2，∴$\left\{\begin{array}{l}{A+B=6}\\{-A+B=-2}\end{array}\right.∴\left\{\begin{array}{l}{A=4}\\{B=2}\end{array}\right.$，
$\frac{5×2π}{60}\frac{π}{6}$，∴f（t）=4sin（$\frac{π}{6}t+$φ）+2，当t=0时，f（t）=0，得sinφ=-$\frac{1}{2}$，φ=-$\frac{π}{6}$，
故所求的函数关系式为f（t）=4sin（$\frac{π}{6}t-\frac{π}{6}$）+2，
（2）令f（t）=4sin（$\frac{π}{6}t-\frac{π}{6}$）+2=6，）⇒sin（$\frac{π}{6}t-\frac{π}{6}$）=1，
$\frac{π}{6}t-\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{2}$
得t=16，
故点P第二次到达最高点大约需要16s．

点评 本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题．考查了运用三角函数的最值，周期等问题确定函数的解析式，属于中档题．