Question

3．已知集合A是函数$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{x-1}）$的定义域，集合B是函数g（x）=2^x，x∈[-1，2]的值域．
（1）求集合A；
（2）求集合B．

Answer 1

分析 （1）根据真数大于0的原则，可得函数$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{x-1}）$的定义域集合A；
（2）函数g（x）=2^x在区间[-1，2]上是单调增函数，求出函数的最值，进而可得函数g（x）=2^x，x∈[-1，2]的值域集合B．

解答 （本小题满分10分）
解：（1）∵函数$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{x-1}）$有意义的条件是x-1＞0，得x＞1，
∴函数$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{x-1}）$的定义域是{x|x＞1}，
即A={x|x＞1}．…（5分）
（2）∵函数g（x）=2^x在区间[-1，2]上是单调增函数，
∴${g_{min}}（x）=g（{-1}）={2^{-1}}=\frac{1}{2}$，${g_{max}}（x）=g（2）={2^2}=4$，
∴函数g（x）=2^x的值域是$\left\{{y|\frac{1}{2}≤y≤4}\right\}$，
即$B=\left\{{y|\frac{1}{2}≤y≤4}\right\}$．…（10分）

点评 本题考查的知识点是函数的定义域，函数的值域，函数的最值及其几何意义，难度基础．