Question

已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且2bcosC=2a-c．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b=2

3

，求a+c的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，将sinA=sin（B+C）代入利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据sinC不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数；
（Ⅱ）由cosB，b的值，利用余弦定理列出关系式，利用基本不等式求出a+c的最大值，再利用三角形三边之和大于第三边求出a+c的范围即可．

解答： 解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简得：2sinBcosC=2sinA-sinC，
∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴2sinBcosC=2sinBcosC+2cosBsinC-sinC，即sinC（2cosB-1）=0，
∵C为三角形的内角，∴sinC≠0，
∴2cosB-1=0，即cosB=

1

2

，
∵B为三角形的内角，
∴B=

π

3

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知B=

π

3

，又b=

3

，
∴由余弦定理得a²+c²-2accos60°=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=12，
∴（a+c）²-12=3ac≤3（

a+c

2

）²，当且仅当a=c时取”=”，
∴（a+c）²≤48，即a+c≤4

3

，
又a，b，c是三角形的三边，a+c＞2

3

，
则a+b∈（2

3

，4

3

]．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，基本不等式的运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．