Question

已知f（x）=（

1

ax-1

+

1

2

）•x³（a＞0且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）讨论f（x）的奇偶性；
（3）若f（x）＞0在定义域上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数成立的条件即可求函数f（x）的定义域；
（2）根据函数奇偶性的定义，即可判断f（x）的奇偶性；
（3）若f（x）＞0在定义域上恒成立，建立等价条件，即可求a的取值范围．

解答： 解：（1）要使函数有意义，则a^x-1≠0，即x≠0，∴函数f（x）的定义域为{x|x≠0}．
（2）∵函数f（x）的定义域为{x|x≠0}．
∴定义域关于原点对称，
则f（x）=（

1

ax-1

+

1

2

）•x³=

ax+1

2(ax-1)

•x3，
∴f（-x）=

a-x+1

2(a-x-1)

•(-x)3=-

1+ax

2(1-ax)

•(-x3)=

ax+1

2(ax-1)

•x3=f（x），
∴f（x）是偶函数；
（3）∵f（x）是偶函数；
∴f（x）＞0在定义域上恒成立，
则只需要当x＞0时，f（x）＞0恒成立即可，
即f（x）=

ax+1

2(ax-1)

•x3＞0即可，
∴a^x-1＞0，
即a^x＞1，
∵x＞0，
∴a＞1，
即求a的取值范围是a＞1．

点评：本题主要考查函数定义域以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数的性质．