Question

一束光线从点A（-1，1）出发，经过直线l：x-y-1=0反射后与圆C：x²+y²-6x-8y+24=0相切，求反射线所在的直线方程．

Answer 1

考点：与直线关于点、直线对称的直线方程

专题：直线与圆

分析：要满足题意只需从A关于l的对称点A′射出的光线与圆相切即可，由直线与圆的位置关系可得直线的斜率，验证无斜率的直线可得．

解答： 解：设点A（-1，1）关于直线l：x-y-1=0的对称点为A′（a，b），
则可得

a-1 2 - b+1 2 -1=0 b-1 a+1 •1=-1

，解得

a=2 b=-2

，即A′（2，-2），
由反射原理可知，从A射出的光线经l反射后与圆C相切，
只需从A′射出的光线（即反射光线）与圆相切即可，
设反射光线的方程为y+2=k（x-2），即kx-y-2k-2=0，
化圆的方程为标准方程可得（x-3）²+（y-4）²=1，
可得圆心（3，4），半径r=1，
由点到直线的距离公式可得

|3k-4-2k-2|

k2+1

=1，
解得k=

35

12

，此时直线的方程为35x-12y-94=0，
当直线无斜率时，方程为x=3满足题意，
综上可得反射线所在的直线方程为：35x-12y-94=0或x=3

点评：本题考查直线与点的对称问题，涉及直线与圆的位置关系，注意直线斜率的存在与否是解决问题的关键，属中档题和易错题．