Question

给出下列命题：
（1）存在实数x，使sinx+cosx=

π

3

；  
（2）若α，β是锐角△ABC的内角，sinα＞cosβ；
（3）在△ABC中，表达式cos（B+C）+cosA为常数；
（4）函数y=sin（

2

3

x-

7π

2

）是偶函数；  
（5）函数y=sin2x的图象向右平移

π

4

个单位，得到y=sin（2x+

π

4

）的图象．
其中正确的命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：利用三角函数的单调性、奇偶性及最值可对（1）、（2）、（4）作出正误判断，利用诱导公式与函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可判断（3）、（5）的正误．

解答： 解：（1）∵sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[-

2

，

2

]，

π

3

∈[-

2

，

2

]，故（1）正确；
（2）依题意，

π

2

＜α+β＜π，0＜

π

2

-β＜α＜

π

2

，
∴sin（

π

2

-β）＜sinα，即cosβ＜sinα，故（2）正确；
（3）在△ABC中，cos（B+C）+cosA=-cosA+cosA=0，为常数，故（3）正确；
（4）∵y=sin（

2

3

x-

7π

2

）=sin（

2

3

x-

7π

2

+4π）=sin（

2

3

x+

π

2

）=cos

2

3

x，为偶函数，故（4）正确；
（5）令y=f（x）=sin2x，则f（x-

π

4

）=sin2（x-

π

4

）=sin（2x-

π

2

）≠sin（2x+

π

4

），故（5）错误；
综上所述，正确的命题的序号是（1）（2）（3）（4）．

点评：本题考查三角函数的单调性、奇偶性及最值，考查诱导公式与函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于中档题．