Question

某商场为迎接元旦，特举行酬宾抽奖活动，规则如下：在一个不透明的布袋里放有红球3个，蓝球3个，随机的抽取3个球，若抽得红球的个数是3、2、1则分别为一、二、三等奖，分别奖励购物券50元、30元、20元；若红球个数为0（即抽得3个蓝球），为不中奖．
（Ⅰ）请你计算一下此次活动的中奖率；
（Ⅱ）若商家提供10000次这样的抽奖机会，则商家需准备总共多少面值的购物券．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由题设条件，利用对立事件的概率公式能求出此次活动的中奖率．
（Ⅱ）设一次中奖奖励购物券面值为ξ元，由题设知ξ=50，30，20，0，分别求出相对应的概率，能求出Eξ，由此能求出商家需准备购物券的面值为10000Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）∵在一个不透明的布袋里放有红球3个，蓝球3个，随机的抽取3个球，
抽得红球的个数是3、2、1则分别为一、二、三等奖，
红球个数为0（即抽得3个蓝球），为不中奖，
∴中奖率：1-

C 3 3

C 3 6

=

19

20

…（6分）
（Ⅱ）设一次中奖奖励购物券面值为ξ元，
由题设知ξ=50，30，20，0，
P（ξ=50）=

C 3 3

C 3 6

=

1

20

，
P（ξ=30）=

C 2 3 C 1 3

C 3 6

=

9

20

，
P（ξ=20）=

C 1 3 C 2 3

C 3 6

=

9

20

，
P（ξ=0）=

C 3 3

C 3 6

=

1

20

，
∴ξ的分布列为：

ξ	50	30	20	0
P（ξ）	1 20	9 20	9 20	1 20

…（3分）
则10000Eξ=10000[50*

1

20

+30*

9

20

+20*

9

20

+0*

1

20

]=250000元…（3分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．