Question

已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，f（x）、g（x）都在R上，且f（x）+g（x）=a^x，（a＞0，a≠1），求证：f（2x）=2f（x）g（x）．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数的奇偶性建立方程组，求出f（x）和g（x）的表达式，即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，f（x）、g（x）都在R上，且f（x）+g（x）=a^x，①，
∴f（-x）+g（-x）=a^-x，
即-f（x）+g（x）=a^-x，②，
由①②解得f（x）=

ax-a-x

2

，g（x）=

ax+a-x

2

，
则2f（x）g（x）=2×

ax-a-x

2

×

ax+a-x

2

=

a2x-a-2x

2

=f（2x），
∴等式成立．

点评：本题主要考查恒等式的证明，利用函数的奇偶性的性质求出f（x）和g（x）的表达式，是解决本题的关键．